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薄板弯曲问题的一种弱形式离散算子解法

注意:本论文已在《计算力学学报》杂志(2000,17(2):163-169)发表
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田中旭   唐立民 

(大连理工大学 力学系

摘要:本文得出了薄板弯曲问题控制微分方程弱形式,弱形式中已含边界参数,由这个方程可以方便地得出薄板弯曲问题的数值求解格式和边界条件的处理方法,有限元法只是它的一个特殊情况。本文导出一种离散格式,它对不再要求 连续的位移函数能够给出较高的计算精度。

关键词:弱形式  边界条件  离散算子  有限元法

分类号:O242.21

1   

薄板弯曲问题在某些方面促进了有限元理论的发展[1]-[7],因为它包含高阶微分算子和较复杂的边界条件,应用有限元法的关键在于要求选择试函数具有一定的连续性。有限元的根据是变分原理,处理边界条件方便。

[8]中提出了离散算子的概念,它试图把包括有限元和差分的计算统一在一个计算框架内,从而寻求现有方法以外的可能更好的计算方法。李荣华教授等提出所谓“广义差分法”[9][10]也是在有限元之外作出了创新和发展。本文沿着离散算子的方向,但文[8]没有给出完整的处理含高阶导数的边界条件的算法。这里采用了弱形式推导离散格式,从而使离散格式和边界条件有机地联系起来。本文的试函数采用高阶函数,而另一文[13]则采用两个线性函数作为试函数离散重调和方程。

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[1]    T.H.H.Pian, Derivation of Element Stiffness Matrices by Assumed Stress Distributions, A.I.A.A.J., 1964, 2(7): 1333-1336 .

[2]    T.H.H.Pian, and Dapeng Chen, Alternative Ways for Formulation of Hybrid Stress Elements, Int. J. Num. Meth. Eng., 1982, 18: 1679-1684

[3]    唐立民,陈万吉,刘迎曦,有限元分析中的拟协调元,大连工学院学报,1980, 19(2): 19-35

[4]    龙驭球,辛克贵,广义协调元,土木工程学报,1987, 1: 1-14

[5]    陈绍春,石钟慈,构造单元刚度矩阵的双参数法,计算数学,19938: 286-296

[6]    陈万吉,单变量有限元的新思考:精化直接刚度法,计算结构力学及其应用,199310(4)263-268

[7]    张鸿庆,王鸣,多套函数有限元逼近与拟协调板元,应用数学和力学,(1985,1: 41-52

[8]    唐立民等,关于连续体结构数值计算的微分算子离散化方法()(),大连工学院学报,1973年,第一期和第三期

[9]    李荣华,广义差分法及其应用,吉林大学自然科学学报,1995114-22

[10]李荣华,陈仲英,微分方程广义差分法,吉林大学出版社,1994

[11]陈仲英,双调和方程广义差分法的变分原理和数值分析,高等学校计算数学学报,1993 2182-194

[12]G.P.Bazeley, Y.K.Cheung, B.M.Irons, and O.C.Zienkiewicz, Triangular elements in bendingconforming and non-conforming solutions, Proc Conf Matrix Methods in Structural Mech., Air Force Inst. Of Tech., 1965:547~576.

[13]唐立民,田中旭,高阶微分的弱形式离散计算,大连理工大学学报校庆50年特刊(将发表)

A Weak Form Discrete Operator Method of Solving Thin Plate Bending Problems

Tian Zhongxu, Tang Limin

(Dalian University of Technology)

Abstract: The weak form formula of thin plate bending problems is presented, which includes the boundary parameters. From this formula, both the solving forms and the method of dealing with boundary conditions can be got. The finite element method is only one of these forms. A discrete form is given, which proved to be with high accuracy even when the displacement lost continuity.
Key Words:
weak form; boundary condition; discrete operator; finite element method


作者点评:

在微分方程的边值问题中,微分方程的离散与边界处理的有机结合是其难点和特色所在。2001.12.02.

 


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