弱形式方程中分片函数奇异性的光滑化分析

注意：本论文已在《力学学报》2002，34（4）：379-388.发表
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田中旭   刘正兴

上海交通大学工程力学系，上海，200030

摘要：本文研究了弱形式方程中的分片光滑函数因求导数出现的奇异性问题，意在为得到得到离散格式时正确处理这一问题提供依据。本文是在不改变拟合性质的情况下，将分片函数光滑化，则分步积分公式仍然有效，并通过光滑后的函数讨论其积分的性质。经过分析总结出了几条计算规则，文中的典型例子说明这些计算规则是合理而有效的。

关键词：光滑化，弱形式，计算规则，有限元，离散算子差分，再现

Smoothing Analysis for the Singularity of Patch Functions in Weak-Form Equations

Tian Zhongxu   Liu Zhengxing

Department of engineering Mechanics, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030

Abstract: In weak form equations, singularity problems will be faced when derivatives of patch functions are concerned. This paper concentrates on the disposal of the singularities of the sample and test functions in week forms, So that .to provide some rules for the disposal of the singularity. Through the analysis, the patch functions were smoothing without any change of their property of fitting and integrate property are analyzed. Some computational rules are given to ensure the singularities be disposed of properly while obtaining the discrete forms. These computational are frank and easy to be used. The computational rules can also be some basis of the analysis for the singularity. Two typical elastic problems, Beam bending and thin plate bending problems are disposed of and analyzed. The examples have shown that these rules are useful and reasonable.

Key Words: smoothing, weak-form, computational rules, finite element method, discrete operator difference, reproduction

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1.   引言

    弱形式的方程因其在数值求解方面具有优势，在各个领域得到了广泛的应用。如果弱形式中的试函数和检验函数是分片光滑函数，则其适应性更强，可以求解不规则的形状和各种边界条件形式。其成功应用的例子有有限元法，离散算子法^[1]，有限体积法，广义差分法^[2]，不规则网格上的差分^[3]和离散算子差分^[4]等。目前关于这方面的理论还很不成熟，试函数与检验函数的连续性问题是其中的重点和难点，很多方法应用了分步积分公式来降低微分算子的阶次，但实际中这些函数不具有分步积分公式所需要的连续可微条件。人们呈通过Soblev空间理论成功地分析了有限元法中的位移协调元。对于非协调元，绝大多数还是通过分片试验来讨论，其中对分片试验与收敛性关系的讨论还没有停止。此外，数学上的研究方法和语言也很难被数学以外的科学工作者所理解和灵活应用。

    本文从一个新的，比较直观的角度来讨论和处理分片光滑函数的连续性问题，给出处理这方面问题的一个依据，也许可以作为研究这类问题的新方向。

    本文采用的处理方法，是在不改变拟合性质的情况下，将分片函数光滑化，则分步积分公式仍然有效，并通过光滑后的函数讨论其积分的性质，也不会增加实际的工作量。

5 结论

    本文给出了一种新的分析弱形式方程中分片函数奇异性问题的思路，并集中体现在几个计算规则中。文中的例子说明这种分析方法是直观而有效的，应用它不仅可分析已有的方法，还有利于发现新方法。本文的处理方法也可能会为这一问题的数学研究提供启示。

感谢大连理工大学唐立民教授的帮助。

参考文献

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3.         B.Heinrich, Finitite Difference Methods on Irregular Networks, Brikhauser Verlag, 1987.

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7.         Tang Limin, Chen Wanji, Liu Yingxi, “Quasi-conforming element of finite element analysis”, Journal of Dalian University of technology, 1980, 19：19-35

8.         龙驭球，辛克贵，广义协调元，土木工程学报，1987，20(1)：1-14

Long Yuqiu and Xin Kegui, ‘Generalized conforming elements’ (in Chinese), Journal of engineering construction, 1987, 1-14 (in Chinese)

9.         Long Yuqiu and Xin Kegui, “Generalized Conforming Elements for Bending and Buckling Analysis of Plate”, Finite Elements in Analysis an Design, 1987, 5：15-30

10.     龙驭球，新型有限元引论，清华大学出版社，1992

Long Yuqiu, introduction for new type finite element method, published by Qinghua University, 1992 (in Chinese)

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